发布时间 : 星期一 文章西安交通大学复变函数与积分变换试卷（B卷）及参考答案更新完毕开始阅读
西安交通大学考试题
成绩 课 程 复变函数与积分变换(B卷) 系 别 考 试 日 期 2006 年 1 月 日 专业班号 姓 名 学 号 期中 期末 一、解答下列各题（每小题5分，共60分） 1、设a,b是实数，函数f(z)?axy?(bx2?y2)i在复平面解析，求a,b. 1、解：Cauchy-Riemann方程，ay?2y，ax??2bx，解出 a?2，b??1. 2、求(1?i)2i，并指出其主值. 解：(1?i)2i?exp(2i?Ln(1?i))?exp(2i(ln2?iArg(1?i))) ??exp(2i(ln2?i(?2k?)))4 ??exp((??4n?)?i(ln2))2?e???4n?2?(cos(ln2)?isin(ln2))；其中n?Z； ?其主值为e2(cos(ln2)?isin(ln2)). ezsinz3、计算?dz，其中C:|z|?1，方向为正向. z?2C2、解：用Cauchy积分公式， ezsinzz2dz?2?i(esinz)|?2?i?esin2. z?2?z?2C e2z?64、计算?dz，其中C:|z|?1，方向为正向. 3zC 解：用高阶导数公式， e2z?62?i2z2?i(2)dz?(e?6)|?4?4?i z?03?z2!2!C in5、判别级数?的收敛性. n?1n??n?n??isin)n?cos?isin， 2222n?1n?sin(k?)??sin??cos?2的收敛性分别与cosk?和2的相同，2和????n2k?1n2kn?1k?1n?1k?1由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以 解：in?(cos?in收敛。 ?n?1n?6、求幂级数?解：记cn? n?5nz的收敛半径. 5nn?1?n?5cn，则，所以收敛半径为1。 ||?1（n???）5ncn?1z27、求f(z)?z的奇点，并指出奇点类型. e?1解：g(z)?ez?1的零点为2k?i（k?Z），显然它们都是孤立零点； 而g'(2k?i)?e2k?i?1?0，所以这些点都是g(z)的1级零点； 但其中z?0是分子z2的2级零点，所以，z?0是函数f的可去奇点， 其他的2k?i（k?Z,k?0）都是f的1级极点 ezsinz8、求f(z)?在孤立奇点z?0处的留数. z2解：z?0是f的1级极点，所以 ezsinzezsinzRes[f(z),0]?Res[,0]?lim(z)?1 z?0z2z29、求积分?解：f(z)?zdz，其中C:|z|?2，方向为正向. 2z?1Cz在复平面上有两个奇点 i，?i，且都包含在曲线C内； z2?1由留数定理， zzzdz?2?i(Res[,i]?Res[,?i]) 222??z?1z?1z?1C?2?i(i?i?)?2?i 2i?2i
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z?1把圆周C:|z|?1变成什么曲线？写出曲线的方程. zz?1解：由分式线性映射的保圆性，以及w?在C上无奇点，知 zz?1映射w?将C变成圆周. zz?11由w?，得z?，而C:|z|?1， zw?1故象曲线为|w?1|?1；或 10、映射w?(u?1)2?v2?1 11、求函数f(t)?sint?u(t)的Fourier变换. 解：? [u(t)]=所以 ?[f(t)]= ? [u(t)] + ? [sint]=1???(?)+j?(?(??1)??(??1)) j?1???(?)，? [sint]=j?(?(??1)??(??1))， j?12、求函数f(t)?te?tsint的Laplace变换. 解：?[sint]=1，由Laplace变换的微分性质, s2?1d1L [(?t)sint]=(2)， dss?1所以 L [tsint]=?d12s(2)?2； dss?1(s?1)22(s?1)L [te?tsint]=. ((s?1)2?1)2 二、（10分）将函数f(z)?11?|z?1|???分别在圆环域0?|z?1|?1，(z?2)(z?1)展开成Laurent级数. 、、解：在圆环域0?|z?1|?1上的Laurent级数为