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202006初三数学 几何综合 北京各区二模试题分类整理
202006初三数学二模试题整理：几何综合（教师版）
一、 以四边形为背景的几何综合题 （一）四边形+旋转
1.（202006二模燕山27）已知菱形ABCD中，∠A＝60°，点E为边AD上一个动点（不与点A，D重合），点F在边DC上，且AE＝DF，将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF． （1）依题意补全图形；
（2）求证：△BEF为等边三角形；
（3）用等式表示线段BG，GF，CF的数量关系， 并证明．
答案：(1)解：补全图形，如图． ………1分
(2)证明：∵菱形ABCD， ∴AB＝AD． 又∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝∠BDC＝60°，AB＝BD． 在△ABE和△DBF中，
AB＝BD，∠A＝∠BDF，AE＝DF， ∴△ABE≌△DBF， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠EBD＋∠ABE＝∠ABD＝60°，
∴△BEF为等边三角形． …………………………4分 (3) BG，GF，CF的数量关系为3(BG－CF)＝2GF．…………………………5分
G证明：如图2，取FG中点H，连接DH， ∵AE＝DF＝DG，∠FDG＝120°， ∴∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF，
FAEDHAEDBCGAEDFBC∴GF＝2GH＝2DG·cos30°＝3DG． 又∵△BCD为等边三角形，
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∴BD＝CD，∠BDC＝60°． ∵∠FDG＝120°，
∴∠BDC＋∠FDG＝180°，即B，D，G三点在同一条直线上， ∴BG＝BD＋DG＝CD＋DG＝CF＋DF＋DG＝CF＋2DG， ∴BG－CF＝2DG．
∴3(BG－CF)＝23DG＝2GF． …………………………7分
（二）四边形性质
2.（202006二模西城27）（轴对称）
在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE >DE），AE，BD交于点F. （1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H. 求证：∠EAB =∠GHC；
（2）AE的垂直平分线分别与AD， AE， BD交于点P，M，N，连接CN. ① 依题意补全图形；
② 用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
AGFDAFDEEB HCB C 图1 备用图 答案：（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90°，
∴ ∠AGH =∠GHC． ∵ GH⊥AE， ∴ ∠EAB =∠AGH． ∴ ∠EAB =∠GHC．
（2）① 补全图形，如图所示．
② AE?2CN．
AGFDEB 2
HC
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证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 点A，点C关于BD对称． ∴ NA =NC，∠1 =∠2． ∵ PN垂直平分AE， ∴ NA =NE． ∴ NC =NE． ∴ ∠3 =∠4．
A1MPF4DEQB N23C在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD = 90°， ∴∠AQE =∠4．
∴∠1+∠AQE =∠2+∠3 =90°． ∴∠ANE =∠ANQ =90°．
在Rt△ANE中，
∴ AE?2CN． ···························································· 7分
二、以三角形为背景的几何综合题 （一）三角形+轴对称
3.（202006二模顺义27）（轴对称+旋转）
已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与 点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线， 交射线DE于点F，连接AE． （1）依题意补全图形；
（2）AE与DF的位置关系是 ；
（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在运动变化的过程中， ∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量， 小昊猜想∠DAF= °，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：
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想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG， 然后可证△AFG≌△AFE……
想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造
A□ABGF，然后可证△AFE≌△BGC……
请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．
答案：解：（1）补全图形如下： …………………………… 1分
BEDCAFBEDC
（2）AE与DF的位置关系是 互相垂直 ； ………………………… 2分 （3）∠DAF= 45° ………………………………………………… 3分
（想法1图形） AG
F
E BCD
证明如下：过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知： ∠B=∠BCG=∠CGA=90°． ∵AB=BC，
∴四边形ABCG是正方形．…………………………………… 4分 ∴AG=AB ， ∠BAG=90°．
∵点B关于直线AD的对称点为E，
∴AB=AE ，∠B=∠AED=90° ，∠BAD=∠EAD．…………… 5分 ∴AG=AE． ∵AF=AF，
∴Rt△AFG≌Rt△AFE(HL) ． ………………………………… 6分 ∴∠GAF=∠EAF． ∵∠BAG=90°，
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF +∠GAF =90°． ∵∠BAD=∠EAD， ∠EAF =∠GAF，
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