发布时间 : 星期一 文章2020届湖南师大附中高三第六次月考数学(理)试题Word版含解析更新完毕开始阅读
?2??所以y?2sinA?sinC的取值范围是??2,1??. ??【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA?FC，且?DAB??DBF?60o．
?1?求证：AC?平面BDEF；
?2?求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析. (2)
15. 5【解析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由菱形的性质可得AC?BD，由等腰三角形的性质可得AC?FO，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO?平面ABCD. 可得OA，OB，OF两两垂直，以OA，OB，OF建立空间直角坐标系O?xyz，求出
uuuvAD??3,?1,0，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF的法向量，由空间向量夹角余弦公
??式可得结果. 【详解】
（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC?BD，且O为AC中点， ∵FA?FC，∴AC?FO，
又FO?BD?O，∴AC?平面BDEF.
（2）连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且?DBF?60?，∴?DBF为等边三角形， ∵O为BD中点，∴FO?BD，又AC?FO，∴FO?平面ABCD.
∵OA，OB，OF两两垂直，∴建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示， 设AB?2，∵四边形ABCD为菱形，?DAB?60?，∴BD?2，AC?23. ∵?DBF为等边三角形，∴OF?∴A3. ?3,0,0，B?0,1,0?，D?0,?1,0?，F0,0,3，
???uuuvuuuvuuuvAD??3,?1,0AF??3,0,3AB??3,1,0. ∴，，
??????uuuvv?n??3x?3z?0?AF·v设平面ABF的法向量为n??x,y,z?，则?uuu， vvn??3x?y?0??AB·v取x?1，得n?1,3,1.设直线AD与平面ABF所成角为?，
uuuvvAD·nuuuvv15sin??cosAD,n??uuuv则. v5AD·n??
【点睛】
本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
219．已知抛物线y?16x，过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线与圆(x?4)?y?16于A,C,D,B22（自上而下顺次）四点.
（1）求证：|AC|?|BD|为定值； （2）求|AB|?|AF|的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108
【解析】（1）设直线l的方程为x?my?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，联立抛物线可得y1?y2?16m，
y1y2??64，结合抛物线定义可得|AF|?x1?即可证出.
p?x1?4,|BF|?x2?4,故|AC|?|BD|?x1x2化为纵坐标2（2）根据|AB|?|AF|?|BF|?x1?x2?8，|AF|?x1?4，x1x2?16,化
|AB|?|AF|?x12?12x1?【详解】
64?48，利用导数求最小值即可. x1（1）有题意可知，F(4,0)
可设直线l的方程为x?my?4，A(x1,y1),B(x2,y2)
?y2?16x2联立直线和抛物线方程?，消x可得y?16my?64?0，
?x?my?4所以y1?y2?16m，y1y2??64， 由抛物线的定义可知，|AF|?x1?p?x1?4,|BF|?x2?4， 2又|AC|?|AF|?4,|BD|?|BF|?4，
2y12y2642所以|AC|?|BD|?(|AF|?4)(|BF|?4)?x1x2???2?16，
161616所以|AC|?|BD|为定值16.
（2）由（1）可知，|AB|?|AF|?|BF|?x1?x2?8，|AF|?x1?4，
|AB|?|AF|?(x1?x2?8)(x1?4)?x12?x1x2?12x1?4x2?32，
由x1x2?16，可得x2?16， x164?48（其中x1>0）， x12所以|AB|?|AF|?x1?12x1?64642(x?2)(x?4)2?48，f?(x)?2x?12?2?令f(x)?x?12x?， 2xxx2当x?(0,2)时，f?(x)?0，函数单调递减，当x?(2,??)时，f?(x)?0，函数单调递增， 所以f(x)?f(2)?108.
所以|AB|?|AF|的最小值为108. 【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，利用导数求函数最值，定值问题，属于难题.解决此类性问题，一般要联立方程组，根据根与系数的关系得到两个交点坐标之间的关系，特别注意涉及抛物线时，要主动考虑抛物线定义的使用.
20．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）： 工种类别 A B C 赔付频率 1 5102 5101 410
已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元. （1）求保险公司在该业务所获利润的期望值； （2）现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.
根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) 方案2．
【解析】（1）分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的总利润期望； （2）分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论． 【详解】
解：（1）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为：