发布时间 : 星期一 文章2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课新人教A版选修2-1更新完毕开始阅读
解得a＝3，故所求椭圆的方程为＋y＝1.
3
2
x2
2
y＝kx＋m，??2
(2)设P为弦MN的中点，由?x 2
＋y＝1??3
得(3k＋1)x＋6mkx＋3(m－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ＞0，即m＜3k＋1.① 所以xP＝
2
2
2
2
2
xM＋xN23mk＝－2，
3k＋1
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，P(xP，yP) 从而yP＝kxP＋m＝2，
3k＋1
myP＋1m＋3k2＋1
所以kAP＝＝－，
xP3mk又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
m＋3k2＋112
则－＝－，即2m＝3k＋1.②
3mkk把②代入①得2m＞m，解得0＜m＜2， 2m－12
由②得k＝＞0，
3
1?1?解得m＞，故所求m的取值范围是?，2?. 2?2?
2
归纳升华
1．在求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，一般需将直线方程与圆锥曲线方程联立、消元，转化成一元二次方程，利用韦达定理和判别式求解，要注意一元二次方程系数及
判别式．要刻画几何意义，便于用代数方法解决．
2．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法． (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
x2y26
[变式训练] 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点
ab3
的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为的最大值．
6?c?＝，
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有?a3
??a＝3，所以c＝2，b＝1.所以所求椭圆方程为＋y＝1. 3(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当AB⊥x轴时，|AB|＝3.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知
|m|1＋k＝2
3322
，得m＝(k＋1)． 24
3
，求△AOB面积2
x2
2
把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k＋1)x＋6kmx＋3m－3＝0， －6km3（m－1）
所以x1＋x2＝2，x1x2＝. 2
3k＋13k＋1所以|AB|＝(1＋k)(x2－x1)＝
2
2
2
2
2
2
2
km12（m－1）??36
(1＋k)?＝ 22－2
3k＋1??（3k＋1）?
2
222
12（k＋1）（3k＋1－m）3（k＋1）（9k＋1）＝＝ 2222
（3k＋1）（3k＋1）12k3＋4＝3＋2
9k＋6k＋1
2
22222
1212
(k≠0)≤3＋＝4. 12×3＋62
9k＋2＋6
k132
当且仅当9k＝2，即k＝±时等号成立．
k3此时Δ＝12(3k＋1－m)＞0，
2
2
当k＝0或不存在时，|AB|＝3，综上所述，|AB|max＝2. 所以当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值
S＝×|AB|max×
1233＝. 22
专题五 圆锥曲线的定值与定点问题 (函数思想方法)
解析几何的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．其证明过程可总结为“变量?函数?定值”，具体操作程序如下：
变量——选择适当的量作为变量；
函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数； 定值——把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值．
[例5] 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x－y＝1，椭圆C2：4x＋y＝1，若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝则O到直线MN的距离为
3
. 3
2， 2
2
2
2
2
当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为y＝kx?显然|k|＞1
则直线OM的方程为y＝－x.
??2??， 2?
k1x＝??4＋k，??y＝kx，1＋k由?得?所以|ON|＝.
4＋k?4x＋y＝1k?
??y＝4＋k，
2
2
22
2
2
2
2
2
2
1＋k同理|OM|＝2.
2k－1
2
2
设O到直线MN的距离为d， 因为(|OM|＋|ON|)d＝|OM||ON|，
3k＋33
所以2＝＝3，即d＝. 2＋2＝2
d|OM||ON|k＋13
1
1
1
综上，可证O到直线MN的距离是定值．
2
2
2
2
2
2
归纳升华
1．解答圆锥曲线中的定值(定点)问题时，首先要明确哪些量是固定的，哪些量是变动的，选择其中一个或几个起关键作用的量作为参数，以参数来表示需要研究定值(定点)的量，看是否能消去参数得到定值(定点)即可．
2．圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等．研究的常见途径有两个：(1)利用平面几何中的最值结论；(2)把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式知识求最值．建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围．
x2y2
[变式训练] 如图所示，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，A1，A2为椭圆C的左、右顶点．
ab
(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值；
(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；