发布时间 : 星期五 文章安徽省宣城市2017届高考数学二模试卷(解析版)(理科)更新完毕开始阅读
由
当b=1时，当b=﹣1时，故函数的解析式为
，得b=1或b=﹣1，
，经检验，经检验．
的图
为最高点；
不是最高点，故舍去．
（Ⅱ）函数f（x）的图象向左平移φ个单位后得到函数象；
横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数∴
（k∈Z），
．
（k∈Z），
的图象，
因为φ＞0，所以φ的最小值为
y=Asin【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的最值，（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
18．（12分）（2017?宣城二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．
【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MJ：与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二
面角A﹣CD﹣M的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得
，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC
取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，
面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分） ∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O， ∴BC⊥平面ACD（6分） 另解：在图1中，可得从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，从而BC⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示， 则
，
， ，
（8分）
设则
即
为面CDM的法向量，
，解得
，
令x=﹣1，可得又∴
为面ACD的一个法向量
∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．（12分）
【点评】本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题．
19．（12分）（2017?宣城二模）某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3：2：1：1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2：1：3：1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．
（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；
（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为X，求X的分布列及数学期望EX． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）随机抽取一名同学，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出该同学选课成功（未被调剂）的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为1，2，3，4．分别出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）随机抽取一名同学，该同学选课成功（未被调剂）的概率：
．
（Ⅱ）X的所有可能取值为1，2，3，4．
，
， ，
．
∴X的分布列为：
X P 1 2 3 4 ．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是中档题．
20．（12分）（2017?宣城二模）已知f（x）=ex﹣ax2，g（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）g（x）=f'（x）=ex﹣2ax，g'（x）=ex﹣2a，分a≤0，a＞0讨论．
（Ⅱ）令h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则h'（x）=ex﹣1﹣2ax， 由ex≥1+x恒成立，故h'（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x， 分
，
讨论，求出a的取值范围
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax2，g（x）=f'（x）=ex﹣2ax，g'（x）=ex﹣2a， 当a≤0时，g'（x）＞0恒成立，g（x）无极值； 当a＞0时，g'（x）=0，即x=ln（2a），
由g'（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g'（x）＜0，得x＜ln（2a）， 所以当x=ln（2a）时，有极小值2a﹣2aln（2a）．
（Ⅱ）令h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则h'（x）=ex﹣1﹣2ax，注意到h（0）=h'（0）=0，