发布时间 : 星期六 文章第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案更新完毕开始阅读
解法二
如图1所示，建直角坐标系Oxy，x轴与挡板垂直，
y y轴与挡板重合，以vAx、vAy、vBx、vBy、vCx和 vCy分
别表示球C与挡板刚碰撞后A、B和C三球速度的分量，根据题意有
vCx?0 （1） 以J表示挡板作用于球C的冲量的大小，其方向沿x轴的负方向，根据质点组的动量定理有
?J?mvAx?mvBx?3mv0 （2） 0?mvAy?mvBy?mvCy （3） 以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有
vAy A vBy vAxB P vBx O ? x vCy CC 图1
Jlsin??mvAy?lcos??lcos???mvBylcos??mv0lsin? （4） 因为连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有
vAx?vBx （5）
vCysin??vBysin??vBxcos? （6） vAxcos??vAysin???vCysin? （7）
（7）式中?为杆AB与连线AC的夹角. 由几何关系有
2cos? cos?? （8）
21?3cos?sin? （9） sin??21?3cos?解以上各式得
J?mv0(1?2cos2?) （10）
vAx?v0sin2? （11）
vAy?v0sin?cos? （12）
vBx?v0sin2? （13） vBy?0 （14）
vCy??v0sin?cos? （15）
9
按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A (也可能球B)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作用，系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A、B和C三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心P的速度
mvAx?mvBx?mvCx2?v0sin2? （16）
3m3mvAy?mvBy?mvCyvPy??0 （17）
3mvPx?这时系统质心的坐标为
xP??lcos? （18）
1yP??lsin? （19）
3不难看出，此时质心P正好在球B的正下方，至球B的距离为yP，而球B相对质心的速度
1 vBPx?vBx?vPx?v0sin2? （20）
3vBPy?0 （21）
可见此时球B的速度正好垂直BP，故整个系统对质心转动的角速度
vvsin? ??BPx?0 （22）
yPl若使球A先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板
碰撞后，整个系统至少应绕质心转过π/2角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间 1π2 t? （23）
y A O x ?在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
P ?x?vPxt （24） B 若
yP??x?xP （25） C 则球B先于球A与挡板碰撞. 由以上有关各式得 ??arctan即
?3 （26） 1??图2
??36 (27)
评分标准：
本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）
10
式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分.
四、
参考解答：
1．虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效电容Ct1满足下式
1n （1） ?Ct12C即
Ct1?式中
2C （2） nS （3） 4?kd虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2满足下式
C?
即
111?1??2???????? （4） Ct2?2C4C8C?C （5） 2整个电容网络的等效电容为
Ct2? Ct?Ct1Ct22C （6） ?Ct1?Ct2n?4等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）
S? qt?Ct?? （7）
(n?4)2?kd
当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等
11
?满足下式 效电容Ct1 由此得
1n?12 （8） ???Ct12C3C6C （9） 3n?1整个电容网络的等效电容为
?? Ct1 Ct???Ct2Ct16C （10） ???Ct23n?13Ct1整个电容网络的等效电容器带的电荷量为
3S? （11）
(3n?13)2?kd在电容器a两极板的距离由d变为2d后，等效电容器所带电荷量的改变
qt??Ct???为
?qt?qt??qt??电容器储能变化为
1S?222 ?U??Ct???Ct???? （13）
22(3n?13)(n?4)2?kd在此过程中，电池所做的功为
S?2 A??qt??? （14）
(3n?13)(n?4)2?kd外力所做的功为
S?2 A???U?A? （15）
2(3n?13)(n?4)2?kd
2.设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为q?，金属薄板左侧带电荷量为?q?，右侧带电荷量为(q??Q)，a的右极板带电荷量为?(q??Q)，与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为q??和?q??.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有
q??q?(q??Q) （16） ??SSC4?kx4?k(2d?x)由（2）式和上式得
2d?x q??q???3q??Q （17）
d上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）.
整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即
S? （12）
(3n?13)(n?4)2?kd
q??q??q??q??q???(n?1)??? （18） ct22CC将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器a左极板带电荷量
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