发布时间 : 星期五 文章高考数学二轮复习专题综合测试卷(8)数学思想与数学方法（含解析）更新完毕开始阅读
当x∈(0,1)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(1，a)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增． 此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．
综上，当0
(理)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a∈R.
2(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是－1，求a的值．
[分析] (1)求函数f(x)的单调区间，按用导数法求单调区间的一般步骤求解，由于f(x)解析式中含参数，故需分类讨论．第(2)问可在第一问的基础上按区间上最值讨论方法令最大值等于－1列方程求解．
ax2＋1[解析] (1)f ′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
x当a≥0时，f ′(x)>0，从而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，令f ′(x)＝0，解得x＝
1
－，舍去x＝－
a1－. a此时，f(x)与f ′(x)的情况如下：
x f ′(x) f(x) (0，1－) a1－ a(1－，＋∞) a＋ 0 － f(1－)； 1－) a 所以，f(x)的单调递增区间是(0，单调递减区间是(
1
－，＋∞)．
aa(2)①当a≥0时，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝.
2令＝－1，得a＝－2，这与a≥0矛盾，舍去a＝－2. 2②当－1≤a<0时，
1a－≥1，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝. a2
aa令＝－1，得a＝－2，这与－1≤a<0矛盾，舍去a＝－2.
2
a
③当a<－1时，0<令f(1
－<1，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(
a1－)．
a1
－)＝－1，解得a＝－e，满足a<－1.
a综上，当f(x)在(0,1]上的最大值是－1时，a＝－e.
22．(本题满分12分)(文)(20152河南洛阳市期末)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
22，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为. 22
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得|MP|＝|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
x2y2
[解析] (1)椭圆方程可设为2＋2＝1(a>b>0)，F(c,0)，(c>0)，
ab则过右焦点F的直线l1：x－y－c＝0，由坐标原点O到l1的距离为则
|0－0－c|2
＝，解得c＝1. 22
2
. 2
c2x22
又e＝＝，故a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为＋y＝1.
a22
(2)假设存在点M(m,0)(0 所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2) ??x＋2y＝2，由? ?y＝k?x－1?? 2 2 2 2 可得(1＋2k)x－4kx＋2k－2＝0. 2 2 2222 4k2k－2∴Δ＝8k＋8>0恒成立，∴x1＋x2＝2，x1x2＝2. 1＋2k1＋2k设线段PQ的中点为N(x0，y0)， 则x0＝ x1＋x2 2k－k＝2，y0＝k(x0－1)＝2， 21＋2k1＋2k∵|MP|＝|MQ|，∴MN⊥PQ，∴kMN2kPQ＝－1， －k2 1＋2k即2k＝－1， 2 2k2－m1＋2k∴m＝ 112 ＝.∵k>0，∴0 2＋2 2k2 k x2y2 (理)(20152长春市质量监测)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的上顶点为(0,1)，且离心 ab率为 3. 2 (1)求椭圆C的方程； x2y2x0xy0y(2)证明：过椭圆2＋2＝1(m>n>0)上一点Q(x0，y0)的切线方程为2＋2＝1； mnmn(3)从圆x＋y＝16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M、N两点时，求|MN|的最小值． [解析] (1)∵b＝1，e＝＝2 2 ca3 ，∴a＝2， 2 ∴椭圆C的方程为＋y＝1. 4(2)当y>0时，y＝n故y′＝－22x2 2 x2 1－2， m， nxm1 x21－2 m∴当y0>0时，切线的斜率k＝－2x02nm1 x201－2 m nx01n2x0 ＝－22＝－22. my0my0 nn2x0 ∴切线方程为y－y0＝－22(x－x0)， my0 ∴nx0x＋my0y＝my0＋nx0＝mn，∴ 2 2 22 22 22 x0xy0y＋＝1. m2n2 x0xy0y＋＝1. m2n2当y0＝0时，切线方程为x＝±m，满足 x2y2x0xy0y综上，过椭圆2＋2＝1上一点Q(x0，y0)的切线方程为2＋2＝1. mnmn(3)设点P(xP，yP)为圆x＋y＝16上一点，PA、PB是椭圆＋y＝1的切线，切点A(x1， 4 2 2 x2 2 x1xx2xy1)、B(x2，y2)，过点A的椭圆的切线为＋y1y＝1，过点B的椭圆的切线为＋y2y＝1. 4 4 ∵两切线都过P点，∴ x1xP4 ＋y1yP＝1， x2xP4 ＋y2yP＝1. ∴切点弦AB所在直线的方程为14 ∴N(0，)，M(，0)， xxP4 ＋yyP＝1. yPxP161161xP＋yP∴|MN|＝2＋2＝(2＋2)2 xPyPxPyP16 2 22 1xPyP＝(2＋17＋1622) 16yPxP1 ≥(17＋216 22 x2y225PP162222)＝， yPxP16 x2y264216PP2 当且仅当2＝162，即xP＝，yP＝时取等号， yPxP55 55 ∴|MN|≥，∴|MN|的最小值为. 44 反馈练习 一、选择题 1．(文)(20142山东理，5)已知实数x、y满足a A． 11 >2 x＋1y＋1 2 xyB．ln(x＋1)>ln(y＋1) D．x>y 3 3 22 C．sinx>siny [答案] D [解析] a [点评] 可以用特值检验法求解． 3 3 3 xy(理)(20142唐山市二模)若正数a、b、c满足c＋4bc＋2ac＋8ab＝8，则a＋2b＋c的最小值为( ) A．3 C．2 [答案] D [解析] ∵c＋4bc＋2ac＋8ab＝8，∴c(c＋4b)＋2a(c＋4b)＝8，∴(c＋4b)(c＋2a)＝8，∵a、b、c都为正数，∴(c＋4b)(c＋2a)≤(2b＋c≥22. 2．(文)(20142新课标Ⅱ文，5)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列， 2 2 B．23 D．22 c＋4b＋c＋2a2 )，∴(a＋2b＋c)≥8，∴a＋ 22