发布时间 : 星期三 文章高考数学二轮复习专题综合测试卷(8)数学思想与数学方法（含解析）更新完毕开始阅读
(2)若AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值． [审题要点] (1)由D在圆周上知BD⊥CD．又AB⊥平面BCD，可知CD⊥平面ABD，欲证
BF⊥平面ACD，由于BF⊥AD，只要找到平面ACD内与BF垂直的另一条直线即可，CD即是要
找的直线．
(2)①要找出二面角的平面角，需找到二面角的棱，这样作图会很麻烦，注意到AB⊥平面BCD，从而平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，故E、F在底面上的射影分别在BC、
BD上，故可用△BEF与其射影三角形的面积来求二面角的余弦值；②由AB⊥平面BCD知AB为
→
平面BCD的一个法向量，由于AE⊥AC，BF⊥平面ACD，故AC是平面BEF的法向量，则二面角→→
的计算可转化为研究AB与AC的夹角；③从众多垂直关系中，找到建系方案，可用坐标法讨论．
[解析] (1)证明：∵BC为圆O的直径，∴CD⊥BD， ∵AB⊥圆O所在的平面，
∴AB⊥CD，且AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD． 又∵BF?平面ABD，∴CD⊥BF， 又∵BF⊥AD，且AD∩CD＝D， ∴BF⊥平面ACD． (2)方法一：(向量法)
由(1)知：BF⊥平面ACD，AC?平面ACD， ∴BF⊥AC，又BE⊥AC，且BE∩BF＝B， ∴AC⊥平面BEF，
→
即AC是平面BEF的一个法向量．
→
又由已知AB垂直于圆O所在的平面，得AB是平面BCD的一个法向量， →→
∴平面BEF与平面BCD所成的锐角二面角与向量AC与AB所成的角相等， 故所求锐角二面角的余弦值为cos∠CAB＝2. 2
→
方法二：(射影面积法)
过点F作FG∥AB，交BD于点G，连接OG 、OE，可知EO、FG都垂直于平面BCD， ∴△BGO是△BFE在平面BCD上的射影，
∵AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，∴BD＝DC＝2，
BD261
又∵BF⊥AD，∴DF＝＝＝AD，
AD33
222∴BG＝BD＝，
33
11∴S△BOG＝BO2BG2sin45°＝.
23在Rt△ABD中，由于BF⊥AD得
AB2BD22223
BF＝＝＝，
AD36
∵BF⊥平面ACD，EF?平面ACD，∴BF⊥EF， 则在Rt△BEF中，BE＝2， ∴EF＝BE－BF＝
2
2
6
， 3
12
∴S△BEF＝BF2EF＝. 23
设平面BEF与平面BCD所成锐二面角为θ，则
cosθ＝
S△BDG2＝＝. S△BEF22
3
1
3
方法三：向量坐标法．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
则B(0，－1,0)，E(0,0,1)，D(1,0,0)，A(0，－1,2)， ∵BF⊥AD，
BD261
∴DF＝＝＝AD，
AD33
→1→得DF＝DA，
3212
∴点F(，－，)，
333
→
BF＝(，，)，BE＝(0,1,1)．
设平面BEF的法向量为n1＝(x，y，z)，则 →??BF2n1＝0，?→??BE2n1＝0，
222
333
→
02x＋12y＋12z＝0，??即?222
2x＋2y＋2z＝0.?33?3
??y＝－z，
解得?
?x＝0.?
不妨取平面BEF的法向量n1＝(0，－1，1)，
而又由已知AB垂直于圆O所在的平面，
→→
得BA是平面BDC的一个法向量，即n2＝BA＝(0,0,2)， 设平面BEF与平面BCD所在锐角二面角为θ，
n12n22
则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝||＝.
|n1|2|n2|2
20．(本题满分12分)(文)(20152河南六市联考)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2＋a6＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：＋2＋?＋n＝an＋1(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Sn.
222[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，则依题设d>0. 由a2＋a6＝14，可得a4＝7.
由a3a5＝45，得(7－d)(7＋d)＝45，可得d＝2. 所以a1＝7－3d＝1. 可得an＝2n－1.
(2)设cn＝n，则c1＋c2＋?＋cn＝an＋1.
2即c1＋c2＋?＋cn＝2n，
可得c1＝2，且c1＋c2＋?＋cn＋cn＋1＝2(n＋1)． 所以cn＋1＝2，可知cn＝2(n∈N)． 所以bn＝2
n＋1
*
b1b2bn*
bn，
所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列． 4?1－2?n＋2
所以前n项和Sn＝＝2－4.
1－2
(理)(20152江西上饶市三模)已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)求证：{an＋1}是等比数列； (2)求数列{nan}的前n项和Sn.
n
[解析] (1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 则
an＋1＋1
＝2为常数，∴{an＋1}是等比数列． an＋1
nn(2)∵a1＝1，可得an＋1＝2，∴an＝2－1， 则nan＝n22－n，
设Tn＝132＋232＋?＋n22，则 2Tn＝132＋232＋?＋n22
2
32
nnn＋1
Tn＝－2－22－23－?－2n＋n22n＋1
2?1－2?n＋1
＝－＋n22
1－2＝(n－1)2
n＋1
n＋2
n＋1
∴Sn＝(n－1)2－
n2＋n2
＋2.
12
21．(本题满分12分)(文)设a>0且a≠1，函数f(x)＝x－(a＋1)x＋alnx.
2(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率； (2)求函数f(x)的极值点．
[分析] 第(1)问求f(x)在(3，f(3))处的斜率就是求f ′(3)；第(2)问求f(x)的极值点，由于f(x)中含参数a，a的取值变化会引起f(x)单调区间的改变，从而极值改变，故需分类讨论．
[解析] (1)由已知x>0， 2当a＝2时，f ′(x)＝x－3＋，
x2
曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为f ′(3)＝. 3
ax2－?a＋1?x＋a(2)f ′(x)＝x－(a＋1)＋＝ xx＝
?x－1??x－a?. x由f ′(x)＝0得x＝1或x＝a， ①若0 当x∈(0，a)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(a,1)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增． 此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点． ②若a>1，则