发布时间 : 星期四 文章高考数学二轮复习专题综合测试卷(8)数学思想与数学方法（含解析）更新完毕开始阅读
13
?3＝m＋n，?22即?
31
－2＝－m－n，??22
解得m＝3，n＝1.
π
(2)由(1)知f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．
6π
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋)．
6设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)， 由题意知x0＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． π
将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，
6π
因为0<φ<π，所以φ＝，
6π
因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x，
2由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得
2
kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
π
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z.
2[易错警示] 1.注意左、右平移的区别．
2．f(x)＝Asin(ωx＋φ)与g(x)＝Acos(ωx＋φ)型函数单调区间注意别弄混． [方法点拨] 三角变换、三角函数的图象与性质及解斜三角形
高考命题一般规律是将三角函数的图象与性质与三角变换或者解三角形、平面向量结合在一起．
18．(本题满分12分)(文)(20152河南省八市质量监测)某校在2015年2月份的高三期末考试结束后为了研究本校的数学成绩，随机抽取了50名学生的数学成绩分析，现将成绩按如下方式分为7组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，??第七组[140,150]，得到如图所示的频率分布直方图．
π
2
(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)为了具体了解本次考试的情况，从成绩在[130,150]的同学中任意抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩位于[140,150]的概率是多少？
[解析] (1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为：
1－(0.01310＋0.02310＋0.03310＋0.016310＋0.008310＋0.004310)＝1－0.88＝0.12.
所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为8530.1＋9530.2＋10530.3＋11530.16＋12530.12＋13530.08＋14530.04＝8.5＋19＋31.5＋18.4＋15＋10.8＋5.8＝109.
(2)根据频率分布直方图可知成绩在[130,140)有5030.08＝4人，记为a1，a2，a3，a4,
成绩在[140,150]有5030.04＝2人，记为b1，b2.
从中任取2人有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种抽法，恰好有一人的成绩位于[140,150]的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，
b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，共有8种抽法，
88
所以P＝，即恰好有一人的成绩位于[140,150]的概率是.
1515
(理)(20152湖南理，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
[解析] (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球} ，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥， B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2
4251
＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.因P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)
105102211
＝3＝， 525
P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)
＝P(A1)(1－ P(A2))＋(1－P(A1))P(A2) 21211＝3(1－)＋(1－)3＝， 52522
故所求概率为P(C)＝ P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2) 117＝＋＝. 5210
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为11
，所以X～B(3，)． 55
6401043
于是P(X＝0)＝C3()()＝，
55125
12
P(X＝1)＝C13()()＝1
51515
454545
48， 12512， 1251. 125
21
P(X＝2)＝C23()()＝30P(X＝3)＝C33()()＝故X的分布列为
X P 15
0 64 12535
1 48 1252 12 1253 1 125X的数学期望为E(X)＝33＝. 19．(本题满分12分)(文)(20142哈三中一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．
(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，求三棱锥P－QBM的体积．
[分析] (1)由四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°可知△ABD为正三角形，PA＝PD和Q为AD中点表明PQ⊥AD；要证平面PQB⊥平面PAD，需在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直，那么这条直线可能为PQ或AD，考虑△ABD中Q为边AD的中点可知BQ⊥AD，故AD即所找的直线，这样只要证明AD⊥平面PQB即可．
(2)由于平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，则在其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，PA＝PD＝AD，Q为AD的中点就提供这条直线，即PQ⊥平面ABCD．
2
欲求VP－QBM，由于PM＝2MC，∴可由VP－QBM＝2VC－QBM＝VP－BQC进行等积转化，也可以由CB3⊥平面PQB得平面PBC⊥平面PQB，∴过M作MH⊥PB，垂足为H，则MH为棱锥M－PQB的高．
[解析] (1)∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，
∠BAD＝60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ＝Q， ∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，∴BC?平面ABCD，∴PQ⊥BC，又BC⊥BQ，QB∩QP＝Q，∴BC⊥平面
PQB，又PM＝2MC，
1122
∴VP－QBM＝VM－PQB＝22323222＝.
3233
[方法点拨] 在立体几何证题中，要牢记线线平行、线面平行与面面平行之间可以相互转化，线线垂直、线面垂直与面面垂直之间可以相互转化，要注意结合图形寻找条件与结论之间的联系．
(理) (20142沈阳市质检)如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F.
(1)求证：BF⊥平面ACD；