发布时间 : 星期六 文章高考数学二轮复习专题综合测试卷(8)数学思想与数学方法（含解析）更新完毕开始阅读
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＝，y>0成立，S＝＋＝1，n＝5＋1＝6，n≤2015成立→y＝f(6)＝cos2π＝1，y>0成立，222
S＝1＋1＝2，n＝6＋1＝7，n≤2015成立→y＝f(7)＝cos
函数，当n＝2015时，
7π1
＝，?y＝f(n)是周期为6的32
11
∵2015＝63335＋5，∴输出的S＝33532＋＋＝671，选C．
22
(理)(20152南昌市二模)安排A，B，C，D，E，F六名女工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题．义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有( )
A．30 C．42 [答案] C
[解析] 若B照顾甲，则有C4C4C2种方法；若B不照顾甲，则有C4C3C2种方法，故适合条件的安排方法有C4C4C2＋C4C3C2＝42种．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) →→2
13．(文)设坐标原点为O，抛物线y＝4x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA2OB＝________.
[答案] －3
[解析] 由于没有限制直线AB的位置，故取其特殊位置——与x轴垂直的情形可得
122
222
122
222
B．40 D．48
A(1,2)，B(1，－2)，∴OA2OB＝－3.
[点评] 其一般解法为：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝my＋1，将x＝my＋1代入y＝4x中消去x得，y－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
→→22
∴OA2OB＝x1x2＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋y1y2＝(m＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝(m＋1)2(－4)＋4m＋1＝－3.
→→
(理)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OA2OB＝________.
1[答案] －
2
[解析] 因为直线方程中的三个系数a、b、c均未知，因此直线位置不确定，故可利用条件|AB|＝3取特殊位置来解答．
令A(－
3131
，)，B(，)，则|AB|＝3， 2222
2
2
2
→→
33111→→
∴OA2OB＝－3＋3＝－. 22222
14．(文)已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n?γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n?γ，n∥β.
能推出m∥n的条件是________． [答案] ①或③
[解析] 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD．因m∥γ，故可取平面γ为平面
A′B′C′D′，因为n?γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与平面A′B为异面直线，故m与n不平行．对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC′B′，可取直线n为直线BC，故可推得m∥n；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB′C′D，取直线n为直线B′C′故可推得结论：
(理)已知两个实数集A＝{a1，a2，?，a60}与B＝{b1，b2，?，b25}．若从A到B的映射
f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≥f(a2)≥?≥f(a60)，则这样的映射共有________
个．
[答案] C59
[解析] 由映射的定义及条件知，A中每个元素在B中都有象，B中每个元素在A中都有原象，可以多对一，但不能一对多．又由f(a1)≥f(a2)≥?≥f(a60)知，象只能从大到小顺序排列，我们可以构造这样的数学模型来解决，将a1，a2，?，a60依次排成一列，从所形成的59个空隙中选取24个用插板隔开，然后让集合B中的元素按从大到小的顺序依次从左到右对应到这25个部分，每一部分有n个元素，这n个元素的象都是集合B中的这一个元素，∴共有C59种对应方法．
－x＋6，
??x≤2，
15．(20152福建理，14)若函数f(x)＝?3＋logx，
??x＞2
a2424
)(a＞0，且a≠1)的值域是
[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
[答案] (1,2]
[解析] 当x≤2时，－x＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需f1(x)＝3＋logax(x＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a＞1，所以f1(x)＞3＋loga2，所以3＋loga2≥4，
解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是(1,2]．
16．(文)抛物线y＝x在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．
1
[答案] [－2，] 2
[解析] 由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
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画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y22111＝－x＋z经过点A(，0)，B(0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，
22211此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，故z的取值范围是[－2，]．
22
(理)(20142新课标Ⅱ理，16)设点M(x0,1)，若在圆O：x＋y＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
[答案] [－1,1]
[解析] 在坐标系中画出圆O和直线l：y＝1，其中M(x0,1)在直线上，
设l与y轴交点为A，过M作⊙O的切线MB，切点为B，则∠OMB＝∠OMA≥45°，又当
2
2
2
x0＝1时，∠OMB＝45°，
∴当－1≤x0≤1时，点N存在， ∴－1≤x0≤1.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(文)(20142江西理，16)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈(－
ππ
，)． 22
π
(1)当a＝2，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
4π
(2)若f()＝0，f(π)＝1，求a、θ的值．
2
[审题要点] (1)已知a和θ的值，求f(x)的最值，解题流程
化简f(x)为一角一函形式→求ωx＋φ的取值范围→求sin(ωx＋φ)的取值范围→求
f(x)的最值．
π
(2)由f()＝0，f(π)＝1，求a、θ值解题流程
2
ππ
由条件列关于a、θ的方程组→解三角方程，结合θ∈(－，)求a、θ的值．
22
[解析] (1)f(x)＝sin(x＋＝
ππ)＋2cos(x＋) 42
222
(sinx＋cosx)－2sinx＝cosx－sinx 222
π
＝sin(－x)．
4
π3ππ
因为x∈[0，π]，从而－x∈[－，]．
444故f(x)在[0，π]上的最大值为π??f??＝0，
2(2)由???f?π?＝1.
2
，最小值为－1. 2
??cosθ?1－2asinθ?＝0，得?2
??2asinθ－sinθ－a＝1.
ππ
又θ∈(－，)知cosθ≠0，
22
a＝－1，??解得?π
θ＝－.?6?
[易错警示] 1.f(x)在[0，π]上最值与f(x)在R上最值不同； ππ
2．解a、θ的方程组时，注意θ∈(－，)．
22
(理)(20142山东理，16)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，设函数f(x)＝a2b，π2π
且y＝f(x)的图象过点(，3)和(，－2)．
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(1)求m、n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝
g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
[审题要点] (1)由f(x)＝a2b可得f(x)解析式，由f(x)图象上两点坐标可求m、n. (2)将f(x)化为“一角一函”形式→求g(x)→由g(x)图象上最高点与(0,3)最小距离为1，求φ→求g(x)的递增区间．
[解析] (1)由题意知f(x)＝a2b＝msin2x＋ncos2x. π2π
因为y＝f(x)的图象过点(，3)和(，－2)，
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??
所以?4π4π
－2＝msin＋ncos，??33
ππ3＝msin＋ncos，66