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得
h2?H0.5??0.25?m?22
12、图2-56所示为一圆筒形容器，高H=0.7m，半径R=0.4m，内装体积V=0.25m3的水，圆筒中心通大气，顶盖的质量m=5kg。试求当圆通绕中心轴以角速度w=10rad/s旋转时顶盖螺栓的受力F。 解：
圆筒容器旋转时，易知筒内流体将形成抛物面，并且其内部液体的绝对压强分布满足方程：
p=?g(?2r22g?z)+C （1）
如图所示，取空气所形成的抛物面顶点为坐标原点，设定坐标系roz 当z=0,r=0 时，有p=pa （圆筒顶部与大气相通）， 代入方程（1）可得，C=pa
由此可知，圆筒容器旋转时，其内部液体的压强为：p?pa=?g(?2r22g?z)
令p=pa 可以得到液面抛物面方程为：z=?2r22g （2）
下面计算抛物面与顶盖相交处圆的半径r0 ，以及抛物面的高度z0 ，如图所示：
V 根据静止时和旋转时液体的体积不变原则，可以得到如下方程：V筒-V气=水（3）其中，V筒=?RH，V水=0.25m （4） 气体体积用旋转后的抛物面所围体积中的空气体积来计算：
取高度为z，厚度为dz的空气柱为微元体，计算其体积：dV气=?rdz ，式中r为高度z处所对应抛物面半径，满足z=223?2r22g，因此，气体微元体积也可表示为：
dV气=?r2dz=2?g?2zdz
z0?g?g2对上式积分，可得：V气=?dV气=2?2zdz=2z0 （5）
?0?联立（3）、（4）、（5）式，可得：
?R2H??g2z=0.25，方程中只有一个未知数z0，解方程即可得到：z0=0.575m ?20代入方程（2）即可得到：r0=0.336m
说明顶盖上从半径r0到R的范围内流体与顶盖接触，对顶盖形成压力，下面将计算流体对顶盖的压力N：
紧贴顶盖半径为r处的液体相对压强为（考虑到顶盖两侧均有大气压强作用）：
pe=?g(则
宽
?2r22g度
?z0)
为
dr
的
圆
环
形
面
积
上
的
压
力
为
：
dN=pedA=?g(?2r22g?z0)?2?rdr=(???2r3?2??gz0r)dr
积分上式可得液体作用在顶盖上，方向沿z轴正向的总压力：
1RN=?dN=?(???2r3?2??gz0r)dr=??[?2r4?gz0r2]r04r011=??[?2R4?gz0R2??2r04+gz0r02]4411=3.14?1000?[?102?0.44?9.8?0.575?0.42??102?0.3364+9.8?0.575?0.3362]44=175.6N
由于顶盖的所受重力G方向与z轴反向，因此，螺栓受力F=N-G=175.6-5*9.8=126.6N
13、一块面积为90×180的长方形平板浸没在水中，如图所示，求水作用在平板AB上的总压力的大小和压力中心的位置。 解：作用在平板AB右侧的总压力大小：
RF=?ghCA=1000?9.8?(1.22+1.8)?1.8?0.9=33657N 2总压力F的作用点D位于平板AB的中心线上，其距离液面的高度yD=yC+ICx yCA式中
yC=hC1.8为=1.2m2+2形=心2距.1离2液
面的高度，
bL30.9?1.83ICx===0.4374 ，为形心的惯性矩。因此，可计算出：
1212yD=yC+ICx0.4374=2.12+=2.247m yCA2.12?1.8?0.9
14、 把2-23题中的平板AB和水平面成45°角放置于水下图2-58中的CD位置上，试求水平作用在平板上的总压力和总压力作用点的位置。 解：选取坐标轴如图所示：
作用在平板CD左侧的总压力大小为
F??ghA?1000?9.8???0.91????1.8sin45???1.8?0.9?24550.6N ?2?总压力F的作用点设为N，其位于平板CD的中心线上，距离O点的长度yN?yc?Icx, Ayc其中yc?0.911.8??2.19m 为形心距离O点的长度，
sin45?2Icx0.9?1.83???0.4374m 为形心的惯性矩。 1212bL3因此，可计算出yN?yc?Icx0.4374?2.19??2.31mAyc2.19?0.9?1.8
15、 如图2-59所示，一铰链固定的倾斜式自动开启的水闸，水闸和水平面的夹角为60°，当水闸一侧的水位H=2m，另一侧水位h=0.4m时，闸门自动开启，试求铰链至闸门下端的距离x。
解：
设水闸宽度为b，水闸左侧水淹没的闸门长度为l1，水闸右侧水淹没的闸门长度为l2。作用在水闸左侧压力为
(1) 其中
则
(2)
作用在水闸右侧压力为
(3)
其中
则
(4)
由于矩形平面的压力中心的坐标为
(5)
所以，水闸左侧在闸门面上压力中心与水面距离为
(6)
水闸右侧在闸门面上压力中心与水面距离为
(7)
对通过O点垂直于图面的轴取矩，设水闸左侧的力臂为d1，则
(8)
得
(9)
设水闸右侧的力臂为d2，则
(10)
得
(11)
当满足闸门自动开启条件时，对于通过O点垂直于图面的轴的合力矩应为零，因此
(12)
则
(13)
16、试画出2-60中曲面AB弱受液体总压力的垂直分力对应的压力体，并标出垂直分力方向。 解：
作图原则：
（1）题目：首先找到曲面边界点和自由液面水平线，从曲面边界点向自由液面作垂线，则自由液面、垂线、曲面构成的封闭面就是压力体。本题目中是虚压力体。