发布时间 : 星期一 文章2019版二轮复习数学通用版讲义：第一部分 专题十一 直线与圆 Word版含解析更新完毕开始阅读
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[多维例析]
角度一 直线(圆)与圆位置关系的判定及应用
[例1]在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
??y＝2x－4，
[解](1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组?得圆心
??y＝x－1，
C(3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1.
又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3
＝0，
所以错误!＝1，解得k＝0或k＝－错误!，3
所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，
4
即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以设圆心C(a,2a－4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的
方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1，
设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，
则有错误!＝2错误!，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，设为圆D，圆心D(0，－1)．
所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，
所以2－1≤错误!≤2＋1，
12
解得0≤a≤.
5
120，?.故圆心C的横坐标a的取值范围是?5??
角度二 已知直线(圆)与圆的位置关系求参数值(范围)
△
[例2](1)设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若
AOB为等边三角形，则实数a的值为( )
A．±3 C．±3
⊥PN，则实数r的取值范围是( )
A．(1,5)
B．±6D．±9
(2)已知点M(－2,0)，N(2,0)，若圆x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r＞0)上存在点P(不同于点M，N)，使得PM
B．[1,5]
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D．[1,3]C．(1,3]
[解析](1)由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为3，即圆心
到直线x－y－a＝0的距离为3，所以错误!＝错误!，解得a＝±错误!.
(2)将圆的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，若要使圆上一点P满足PM⊥PN，则需圆经过M，N两点之间，即r∈[1,5]．当r＝1时，(x－3)2＋y2＝1经过点N(2,0)，圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN；当r＝5时，(x－3)2＋y2＝25经过点M(－2,0)，同理圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在点P，
使得PM⊥PN.故选A.[答案](1)B (2)A
[系统方法]
1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
(1)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两圆的位置关系的判断
(2)求过圆外一定点的切线方程的基本思路：
一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线．
2．弦长的求解方法
首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有
几何法l2根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l4为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离) 根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交公式法 点的横坐标，k为直线的斜率) 距离法 [综合训练]
1．在圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上总有四个点到直线l：3x＋4y＋t＝0的距离为1，则实数t的取值范围是(
B．(－15,3)D．(－15,1)
)
A．(－17,1) C．(－17,3)
求出交点坐标，用两点间距离公式求解 |t＋7|
解析：选C 由圆上总有四个点到直线l：3x＋4y＋t＝0的距离为1，得圆心(1,1)到直线l的距离d＝
5
＜r－1＝2，解得－17＜t＜3，即实数t的取值范围是(－17,3)．
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―→―→
2．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N两点．若OM·ON
＝12，其中O为坐标原点，则|MN|＝( )
A．2 C.3
B．4D．23
解析：选A 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圆心为(2,3)，将y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以Δ＝16(k2＋2k＋1)－28(1＋k2)＝－12k2＋32k－12＞0，x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.错误!·错误!＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝错误!＋8，由题设可得错误!＋8＝12，得k＝1，满足Δ>0，所以直线l的方程为y＝x＋1.故圆心(2,3)
恰在直线l上，所以|MN|＝2.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4.若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦
长为23，则直线l的方程为______________________．
解析：由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心(－3,1)到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d＝错误!＝1.由点到直线的距
|－3k－1－4k|
离公式得d＝，化简得k(24k＋7)＝0，
1＋k2
7即k＝0或k＝－，24
7
所以直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.
24
答案：y＝0或7x＋24y－28＝0
重难增分点、直线与圆的综合问题
[考法全析]
一、曾经这样考
1．[与圆有关的范围问题](2014·全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠
11
－，?B. ??22?
OMN＝45°，则x0的取值范围是( )
A．[－1,1]
C．[－2，2]
D.－??22?，22?
解析：选A 法一：常规思路稳解题
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可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故
由题意x0＝0即点作圆的切
要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0
题
的取值范围为[－1,1]．法二：特殊思路妙解如图，过O作OP⊥则|OP|＝|OM|sin ∴|OM|≤
2，即
MN于点P，
45°≤1，
x20＋1≤2，
∴x20≤1，即－1≤x0≤1.
[启思维]本题考查直线与圆的位置关系(圆的切线问题)、存在性问题，数形结合法是解决此类题目的最
有效方法．
2．[
与
圆
有
关
的
最
二、还可能这样考
值
问
题]已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|P
M|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为____________．
解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1,2)，半径r＝2.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x21＋y21＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P
??2x－4y＋3＝0，为两直线的交点，由?
?2x＋y＝0，?
?x＝－10，解得?3
y＝?5，
3
33
－，?.故当|PM|取最小值时点P的坐标为??105?
33－，?答案：??105?[启思维]本题考查圆的切线长问题，解决此类问题一般放在由该点与切点的连线、半径及该点与圆心连
线构成的直角三角形中求解．